研发光学特性优异、可靠性高的封装技术是照明用发光二极管（LED）走向实用化的必经之路，而依靠经验开模对LED封装进行优化，成本是极其巨大的。因此，用数值方法设计性能优异的一次光学系统，对LED的封装意义重大，也是优化LED一次光学系统的唯一途径。
   LED光学系统属于一种非成像光学系统，不同于传统的成像光学系统，它注重于能量的分配而不是信息的传递。LED光学系统可以分为三个部分：光源、光学系统和光能接收面。光源和发光器件的内部系光学结构构成所谓的一次光学系统。光能接收面作为一种评价界面存在于被研究的光学系统之外，对LED封装及绝大多数照明光学系统来说，光能接收面所评价的大多是光亮度及其分布情况。
   本文将首先对LED发光芯片进行体光源的面发光特性简化建模，然后参照实际常用LED的封装结构形式，设定反射碗的形状描述函数，并改变反射碗、环氧树脂结构的相关形状、位置和材料参数，对所设计的结构进行非序列光线追迹，来模拟得到不同封装参数条件下的光能接收面的光亮度分布。最后，本文还将对模拟的结果做较为详细的对比分析，得到该一次光学系统的一组优化结果。
1、LED环氧封装的一次光学系统设计
1.1 LED发光芯片的实体简化建模
   光源的实体模型又称为光源几何造型，它是光源大小、形状、位置、方向、材料的综合表示，还反映光源的反射、折射、吸收等相关特性。LED内部的发光芯片是LED一次光学系统的光源，因此LED发光芯片的模型是LED整体光学建模的基础。通常，LED芯片内部包括限制层、有源层、基底、电极等几个部分。从有源层出射的光子是随机的，即光子在空间各个方向都有可能出射。
   光子离开LED芯片表面时的出射点在芯片表面上随机分布，且在芯片6个面均有不同程度出射。但芯片外围的反光碗会改变从LED芯片边缘出射的光子路径，同时芯片底部的电极也会吸收部分光子，因而我们用一个立方体来表示LED芯片，该立方体的上表面为主要发光源。
   由于芯片的厚度相对于主要发光面非常小，芯片侧面的发光可以忽略不计。发光点在主要发光面上随机分布，也就是将六个面的发光特性集中定义在其一个面上，而这个面也同时向反射碗底出射光子。这样可提高光线追迹效率，并保证足够的准确度。
定义该发光面出射的光线角度分布I（θ）符合朗伯余弦定律：
I（θ）＝I0cosθ（1）式中，θ为该方向与平面法向的夹角，I0为法向光强。该面的发光特性如图1所示。
1.2 反光碗的模型设计
   由于LED发光芯片已构成标准的体光源，反射碗的面积相对来说非常小，因此本文采用目前通用的分段直线反光碗模型。反光碗的材料应有较高的反射率，将由其对应的反射和漫射指数，以及它作为高斯散射体的参数σ值来定义。LED封装的一次光学系统设计还必须确定反光碗的大小和位置参数，我们用底部直径、顶部直径、外径、台基厚度和碗深来表示其形状和大小，如图2所示。反光碗的碗底与发光芯片的位置重合。
1.3 环氧树脂结构的模型设计
   按发光二极管的封装分类，有全环氧包封、金属底座环氧封装、陶瓷底座环氧封装及玻璃封装等结构，本文将采用白光LED目前较常用的全环氧封装。该LED封装后的外形由一个柱面和一个半球面（实际上是二次曲面）组成，较长的环氧树脂柱面是它的一个显著特点。这就是目前流行的炮弹型LED，这种外形制造方便，得到了广泛的使用。
   由于LED结构的特殊性，可供测量的实体参数较少，只有其环氧树脂柱面和半球面的几何参数可较准确得到。环氧树脂里面的LED芯片、反光碗的形状和位置都是无法准确测量的，但所有参数对封装结构的计算机辅助设计是可以实现的，并且在开模之前很容易确定上述环氧树脂封装和反光碗及芯片的位置和形状参数。依靠遗迹光线可得到该封装模型的空间亮度分布，而通过改变这些参数进行模拟，可实现优化设计的目的。
   将LED的环氧树脂封装结构拆解为顶部的二次曲面和周围的柱面，几何形状和大小由总高度、外径、内径和二次曲面常数c决定，其材质同样由对应材料的折射率确定。对应的二次曲面通式为
F（x，y，z）＝α11x2＋α22y2＋α33z2＋2α12xy＋2α23yz＋2α11zx＋2α14x＋2α24y＋2α34z＋α44 （2）
采用矩阵形式可表述为F（x，y，z）＝[x，y，z，1]A[x y z 1]T （3）式中，A为系数矩阵，A唯一确定了空间二次曲面的形式，本文模型设ai，j≡c，则二次曲面由常数c唯一确定。
   LED封装的计算机模型设计及其坐标系示意图如图3所示，三维坐标的原点均在环氧结构的顶部，xy平面在结构的底平面上。其中图3（b）的经纬线所在球面为光能接收面。
   同样，发光芯片的几何参数与位置也需要确定。我们采用正方形芯片，用深度、边长来决定，深度即为离开外壳顶部的距离，也就是反射碗碗底平面所在的位置。
1.4 非序列光线追迹
   光线在光学系统内的传播遵循几何光学的反射定律和折射定律。LED光学系统属于非成像光学系统，光线与系统中各个界面相交的顺序是未知的，从LED芯片发出的光在出射时的位置、方向也是未知的，因此几何光学法在这里将不再适用。LED光学系统的环氧封装和二次光学设计都需要追迹大量的光线来达到光学系统性能分析的准确性。与序列光线追迹不同的是，非序列光线追迹的分析需要对从光源发出的按一定空间光强分布的随机光线的位置、方向以及行进过程中与各界面所产生的反射、折射、散射、吸收用蒙特卡罗方法来模拟。
LED封装的光学结构模型由芯片（光源）、反光碗、封装环氧树脂与空气界面组成，芯片出射光由球空间均匀分布随机数向量发生器模拟，反光碗、环氧树脂结构与空气界面则可以由二次曲面方程、柱面方程和反光碗的锥面方程取不同的参数和不同边界条件来获得。用蒙特卡罗方法来模拟非序列光线追迹的流程如图4所示。
2、模拟结果
   基于上述LED的光学模型与非序列光线追迹方法，对LED的封装进行不同参数条件下的光亮度数值模拟，光能接收面为以（0，0，-5）为圆心、200mm为半径的球面，如图 3（b）所示。为使程序的运算时间不致过长，光线追迹的初始光子数设为25000。设定一组 LED的初始参数，如表1所示。
   对应上述参数的LED光亮度分布模拟结果如图5所示。图5中光亮度的单位为瓦/球面度，最终出射粒子数已进行归一化，见右边的柱状显示，由于结构内部多次反射消耗了部分内俘获光子，最终出射的归一化光子数小于1。
从图5的模拟结果来看，LED封装后的发光亮度分布是较为合理的，中心最亮，四周最暗，同一纬度不同经度亮度分布较为均匀，与真实LED从沿-z方向观察的结果一致，而且数值在合理的范围。
   但图5显示z轴法向的方向光强并没有达到最大，而是出现了暗斑，同时，光能在半球面上的分布范围很大，非法向的能量损失较严重。这是有悖于此类炮弹型LED设计原则的，即尽量保证法向（z方向）光强的最大值，并尽量减少非法向方向的光能损耗。这也是此类LED的重要设计目标。
   为了研究环氧封装结构和反光碗形状变化对出射光亮度空间分布的影响，令表1中的二次曲面常数c＝-0.25，反光碗深度变为0.35mm，其他条件和参数不变，进行同样的运算，得到的光亮度分布如图6所示。图6所示的亮度分布明显得到了改善，法向亮度的最大值较图5有了提高，非法向的光能分布范围也有了明显的减小。虽然法向的中心暗斑依然存在，但法向附近的光能更加集中。这说明为了达到良好的出射效果，LED封装的光学系统设计与优化及其重要。
   为了研究反光碗与发光芯片在环氧封装结构中位置的变化对出射光强分布的影响，我们在图6的基础上对芯片深度进行了调整。固定其他参数，得到优化的深度值在5mm左右，此时的亮度分布模拟结果如图7所示。优化反光碗与发光芯片位置后的LED亮度分布较图6有了较明显的改善，其法向最大亮度有了提高，中心暗斑已经不明显，出射光的主要能量.